Задача 86904

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Векторы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , а расстояние между противоположными рёбрами равно . Найдите радиус вписанной сферы.

Решение

Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P ; AB = BC = AC = a ; M – центр треугольника ABC ; L – середина BC . Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки L на прямую AP . Тогда прямая AP перпендикулярна плоскости треугольника BFC . Поэтому FL BC . Следовательно, FL – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP и BC . По условию задачи FL = . Пусть α – угол бокового ребра данной пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника AFL находим, что

sin α = sin FAL = = = .
Тогда
cos α = , tg α = = , AP = = = ,

PM = AM tg α = · = .
Центр O сферы радиуса r , вписанной в данную правильную пирамиду расположен на высоте PM , а сфера касается грани BPC в точке, лежащей на апофеме PL . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APL . Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r , вписанной в угол ALP , причём OM = r . Обозначим через β угол боковой грани пирамиды с плоскостью её основанияю. Тогда
r = OM = LM· tg OLM = · tg .
Из прямоугольного треугольника PML находим, что
tg β = = = .
Поскольку tg β = , имеем уравнение
= .
Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого уравнения:
tg = .
Следовательно,
r = · tg = · = .

Ответ

r = = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7080