Задача 86909
|
|
 |
Условие
Сторона основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP равна a , а боковые рёбра равны 2a . Рассматриваются отрезки с концами на ребрах AD и PC , параллельные плоскости PAB . а) Один из этих отрезков проведён через точку M ребра AD такую, что AM:AD = 3:4 . Найдите его длину. б) Найдите наименьшую длину рассматриваемых отрезков.Решение
а) Через точку M проведём плоскость, параллельную плоскости APB (рис.1). Пусть эта плоскость пересекает рёбра PD , PC и BC в точках K , L и N соответственно. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей KM || AP , KL || CD и LN || PB . Отрезок ML лежит в плоскости, параллельной плоскости APB , поэтому ML параллелен плоскости APB , а его концы лежат на прямых AD и PC . Следовательно, ML – искомый отрезок. Из подобия треугольников DMK и DAP , PKL и PDC , CNL и CBP следует, чтоПоскольку прямая MN параллельна плоскости CPD , а секущая плоскость проходит через MN и пересекает плоскость CPD по прямой KL , то MN || KL . В равнобедренной трапеции MKLN (рис.2) известны основания MN = a , KL =
Следовательно, ML = a . б) Пусть теперь XY – произвольный отрезок с концами на рёбрах AD и CP (рис.3). Спроектируем его на плоскость APB параллельно прямой AD . При этом точка X ребра AD перейдёт в точку A , а точка Y ребра CP – в некоторую точку Z ребра BP . Поскольку XY параллельно плоскости APB , AZ = XY . Отрезок AZ будет наименьшим, когда Z – основание высоты равнобедренного треугольника APB , опущенной из вершины A (рис.4). В этом случае BP· AZ = AB· PE , где E – середина AB . Отсюда находим, что
Ответ
Ю) a ; А)Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7085 |
