Задача 86931

Темы:    [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ] [ Прямые и плоскости в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Решение

Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S (рис.1). Плоскости противоположных граней ASB и CSD пересекаются по прямой a , проходящей через точку S , а граней ASD и BSC – по прямой b , также проходящей через S . Через пересекающиеся прямые a и b проведём плоскость α . Любая плоскость, проведённая через произвольную точку ребра данного четырёхгранного угла, пересекает этот угол по некоторому четырёхугольнику. По теореме о пересечении двух параллелльных плоскостей третьей противоположные стороны этого четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это – параллелограмм.

Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S (рис.2). На прямой пересечения плоскостей ASC и BSD возьмём произвольную точку M . В плоскости ASC через точку M проведём прямую l , отрезок которой, заключённый внутри угла ASC делился бы точкой M пополам. Аналогично, в плоскости BSD через точку M проведём прямую m , отрезок которой, заключённый внутри угла BSD делился бы точкой M пополам. Тогда в сечении данного четырёхгранного угла плоскостью, проведённой через пересекающиеся прямые l и m , получится четырёхугольник, диагонали которого делятся их точкой пересеченния пополам, т.е. параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7107