Задача 86940

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть M – точка пересечения медиан основания ABC треугольной призмы ABCA1B1C1 ; N и K – точки пересечения диагоналей граней AA1C1C и BB1C1C соответственно. Плоскость MNK пересекает прямые B1C1 и CC1 в точках P и Q соответственно. Постройте сечение призмы плоскостью MNK и найдите отношения B1P:B1C1 и C1Q:CC1 .

Решение

Прямая NK параллельна плоскости ABC , т.к. отрезок NK – средняя линия треугольника AC1B . Поэтому секущая плоскость пересекает плоскость ABC по прямой, параллельной NK и проходящей через точку M . Пусть E и F – точки пересечения этой прямой с AC и BC соответственно, а прямые EN и FK пересекают рёбра A1C1 и B1C1 в точках G и P . Тогда трапеция EFPG – искомое сечение. Пусть H – середина AB . Поскольку EF || AB

= = 2.
Обозначим FB = a . Тогда CF = 2a , а т.к. K – точка пересечения диагоналей параллелограмма BCC1B1 , B1P = CF = 2a и C1P = FB = a . Следовательно,
= = .
Поскольку PC1|| FC и FC = 2PC1 , PC1 – средняя линия треугольника FQC , следовательно, C1Q = CC1 .

Ответ

2:3 ; 1:1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7117