Задача 86943

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В тетраэдре ABCD через середину M ребра AD , вершину C и точку N ребра BD такую, что BN:ND = 2:1 , проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит отрезок KP , где K и P – середины рёбер AB и CD соответственно?

Решение

Проведём плоскость через ребро AB и точку P (рис.1). Плоскости ABP и CMN пересекаются по прямой QL , где Q – точка пересечения прямых CM и AP , а L – прямых BP и CN . Рассмотрим плоскость треугольника BCD (рис.2). Через точку B проведём прямую, параллельную CD , и продолжим отрезки CN до пересечения с этой прямой в точке T . Обозначим CP = DP = a . Из подобия треугольников BNT и DNC находим, что

BT = CD· = 2a· 2 = 4a,
а из подобия треугольников CLP и TLB –
= = = .
Поскольку Q – точка пересечения медиан треугольника ACD ,
= .
Осталось найти, в каком отношении отрезок QL делит медиану PK треугольника APB . Пусть O – точка пересечения этих отрезков (рис.3). Через точку Q проведём прямую, параллельную AB , до пересечения со стороной BP в точке H . Тогда
= = ,
поэтому
= = , = .
Пусть G – точка пересечения PK и QH . Тогда G – середина QH . Рассмотрим треугольник PQH . Через вершину P проведём прямую, параллельную QH . Продолжим QL до пересечения с этой прямой в точке S . Обозначим QG = GH = b . Из подобия треугольников PLS и HLQ находим, что
PS = QH· = 2b· = 3b,
а из подобия треугольников POS и GOQ –
= = = 3.
Обозначим OG = c . Тогда
PO = 3c, PG = 4c, KG = 2PG = 8c, OK = KG + OG = 9c.
Следовательно,
= = .

Ответ

1:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7120