Информация о задаче

Задача 86967

Тема:

[

Высота пирамиды (тетраэдра)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной c, и углом в 30^o. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом в 45^o. Найдите объем пирамиды.

Подсказка

Докажите, что высота данной пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности, т.е. через середину гипотенузы треугольника основания.

Решение

Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, ABC - прямоугольный треугольник, в котором $\angle$ C = 90^o, AB = c, $\angle$ A = 30^o. Поскольку DH - перпендикуляр к плоскости ABC, отрезки AH, BH и CH - проекции наклонных AD, BD и CD на плоскость ABC. По условию

$\displaystyle \angle$ DAH = $\displaystyle \angle$ DBH = $\displaystyle \angle$ DCH = 45^o.

Прямоугольные треугольники DAH, DBH и DCH равны по катету и острому углу, поэтому AH = BH = CH и H - центр окружности, описанной около треугольника ABC, а т.к. этот треугольник прямоугольный, то H - середина гипотенузы AB. Далее находим

DH = AH^.tg $\displaystyle \angle$ DAH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c^.tg45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c, BC = AB^.sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c,

AC = AB^.cos 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(ABCD)^.DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AC^.DH =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c = c³ $\displaystyle \sqrt{3}$ /48.

Ответ

c³ $\displaystyle \sqrt{3}$ /48.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7164