Информация о задаче

Задача 86969

Тема:

[

Высота пирамиды (тетраэдра)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Каждое из боковых ребер пирамиды равно 269/32. Основание пирамиды - треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите объем пирамиды.

Подсказка

Высота данной пирамиды проходит через центр окружности, описанной около треугольника основания.

Решение

Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, в которой AD = BD = CD = 269/32, AB = 13, BC = 14, AC = 15. Поскольку DH - перпендикуляр к плоскости ABC, отрезки AH, BH и CH - проекции равных наклонных AH, BH и CH на плоскость ABC. Поэтому AH = BH = CH, т.е. H - центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Площадь S треугольника ABC находим по формуле Герона:

S = $\displaystyle \sqrt{21\cdot (21 - 13)(21 - 14)(21 -15)}$ = $\displaystyle \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}$ = 7^.3^.4 = 84.

Затем находим радиус R окружности, описанной около треугольника ABC :

R = abc/(4S) = 13^.14^.15/(4^.84) = 65/8.

По теореме Прифагора из прямоугольного треугольника ADH находим высоту DH пирамды:

DH = $\displaystyle \sqrt{AD^{2} - AH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{AD^{2} - R^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(269/32)^{2} - (65/8)^{2}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{(269/32)^{2} - (260/32)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{269^{2} - 260^{2}}$ /32 =

= $\displaystyle \sqrt{(269 - 260)(269 + 260)}$ /32 = $\displaystyle \sqrt{9\cdot 529}$ /32 = 3^.23/32 = 69/32.

Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S^.DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ 84^.69/32 = 84^.23/32 = 21^.23/8 = 483/8.

Ответ

483/8.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7166