Задача 86976

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найдите расстояние между прямыми AA1 и BD1 и постройте их общий перпендикуляр.

Решение

Пусть Q и Q1 – точки пересечения диагоналей квадратов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Тогда прямая AQ перпендикулярна пересекающимся прямым BD и BB1 плоскости BB1D1D , поэтому AQ BD1 и AQ AA1 . Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми AA1 и BD1 равно длине отрезка AQ , т.е. половине диагонали квадрата со стороной a . Из середины M ребра AA1 опустим перпендикуляр MO на QQ1 . Тогда MO || AQ , O – середина QQ1 , поэтому O – середина BD1 . Кроме того, MO – перпендикуляр к плоскости BB1D1D . Следовательно, MO – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AA1 и BD1 и

MO = AQ = a.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7173