Задача 86986

Темы:    [ Куб ] [ Векторное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Точки M и K – середины рёбер AB и CD соответственно. Найдите радиус сферы, проходящей через точки M , K , A1 и C1 .

Решение

Центр O сферы, проходящей через точки M , K , A1 и C1 , равноудалён от точек A1 и C1 , поэтому точка O лежит в плоскости α , перпендикулярной отрезку A1C1 и проходящей через его середину, т.е. в поскости BDD1B1 . Точка O равноудалена от точек M и K , поэтому она лежит в плоскости β , перпендикулярной отрезку MK и проходящей через его середину. Плоскости α и β пересекаются по прямой PQ , где P и Q – центры квадратов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Обозначим OQ = x , OM = OK = OA1 = OC1 = R . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников OPM и OQA1 находим, что

R2 = OA21 = OQ2 + QA21 = x2 + ()2 = x2 + ,

R2 = OM2 = OP2 + PM2 = (a - x)2 + ()2 = (a - x)2 + .
Из уравнения
x2 + = (a - x)2 +
что x = . Следовательно,
R= = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7183