ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86991
Темы:    [ Касательные к сферам ]
[ Тетраэдр и пирамида (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Шар радиуса r касается всех боковых граней треугольной пирамиды в серединах сторон её основания. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с основанием пирамиды. Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть сфера радиуса r с центром O касается боковых граней ADB , BDC и ADC в серединах соотвественно C1 , A1 и B1 сторон AB , BC и AC основания ABCD , а плоскость основания пересекает отрезок DO в его середине H . Прямоугольные треугольники OC1D , OA1D и OB1D равны по гипотенузе и катету, поэтому DC1 = DA1 = DB1 . Высота DP треугольной пирамиды A1B1C1D с равными боковыми рёбрами DC1 , DA1 и DB1 проходит через центр окружности, описанной около основания A1B1C1 . Высота OQ треугольной пирамиды A1B1C1O с равными боковыми рёбрами OC1 , OA1 и OB1 проходит через центр окружности, описанной около основания A1B1C1 . Значит, точки P и Q совпадают с точкой H и прямая OD перпендикулярна плоскости ABC . Поскольку H – середина OD , высота C1H прямоугольного треугольника OC1D является его медианой, поэтому DC1 = OC1 = r . Аналогично, DA1 = DB1 = r . Плоскость ABC пересекает данную сферу по окружности, вписанной в треугольник ABC . Эта окружность проходит через точки A1 , B1 и C1 , поэтому она описана около треугольникка A1B1C1 . Так как AB1 = AC1 , AB1 = AC и AC1 = AB , то AC = AB . Аналогично, AB = BC . Значит, треугольник ABC – равносторонний. Из прямоугольного треугольника ODC1 находим, что

C1H = OD = r.

Тогда
CC1 = 3C1H = r, AC1 = C1H tg 60o = r· ,


AB = 2AC1 = r· ,


SΔ ABC = AB· CC1 = r· · r = · 3r.

Следовательно,
VABCD = SΔ ABC· DH = · · 3r· r = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7188

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .