ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 86992
УсловиеОснование пирамиды – ромб со стороной 2 и острым углом 45o . Шар радиуса касается каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, и найдите объём пирамиды.РешениеПусть шар с центром O касается боковых граней APB , BPC , CPD и APD пирамиды PABCD соответственно в точках K , L , M и N , лежащих на сторонах AB , BC , CD и AD ромба ABCD , в котором BAD = 45o . Прямоугольные треугольники OKP , OLP , OMP и ONP равны по катету и гипотенузе, поэтому PK = PL = PM = PN . Боковые рёбра PK , PL , PM и PN четырёхугольной пирамиды PKLMN равны, поэтому её высота PQ проходит через центр окружности, описанной около четырёхугольника KLMN . Плоскость основания ABCD пересекает сферу по окружности, вписанной в ромб ABCD . Центр этой окружности – точка пересечения диагоналей ромба, а т.к. эта окружность совпадает с описанной окружностью четырёхугольника KLMN , то Q – точка пересечения диагоналей ромба, т.е. центр вписанной в ромб окружности. Перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость основания ABCD , также проходит через центр вписанной окружности ромба ABCD , поэтому прямая PO проходит через точку Q . Пусть BF – высота ромба. Тогда отрезок BF равен диаметру вписанной в ромб окружности. ПоэтомуВ прямоугольном треугольнике OQK катет KQ равен половине гипотенузы OK , поэтому KOQ = 30o . Из прямоугольного треугольника PKQ находим, что Следовательно, Ответ.Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|