Задача 86994

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде ABCD известно, что DC = 9 , DB = AD , а ребро AC перпендикулярно грани ABD . Сфера радиуса 2 касается грани ABC , ребра DC , а также грани DAB , в точке пересечения её медиан. Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть C – вершина, а ABD – основание треугольной пирамиды CABD (рис.1); данная сфера с центром O касается бокового ребра CD в точке P , основания ABD – в точке M (точка пересечения медиан равнобедренного треугольника ABC ), боковой грани ABC – точке Q . Медиана DK равнобедренного треугольника ABD является его высотой, поэтому DK AB , а т.к. AC – перпендикуляр к плоскости ABD , то DK AC . Значит, прямая DK перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ABC . Следовательно, DK – перпендикуляр к плоскости ABC . Поскольку точка M лежит на DK , то MK – также перпендикуляр к плоскости ABC . Отрезок OQ – радиус сферы, проведённый в точку касания с плоскостью ABC , значит, OQ – перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, прямые OQ и MK параллельны как перпендикуляры к одной и той же плоскости. Тогда четырёхугольник OMKQ лежит в одной плоскости, у него три прямых угла, а две соседние стороны равны как радиусы одной сферы. Значит, OMKQ – квадрат. Поэтому

KM = OM = 2, DM = 2KM = 4, DP = DM = 4,

CQ = CP = CD - DP = 9 - 4 = 5.
Прямая DK перпендикулярна плоскости ABC , поэтому DK CK . По теореме Пифагора
CK = = = = 3.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (рис.2). Обозначим AK = KB = x . Пусть F – ортогональная проекция точки Q на AC . Тогда
CF = = = ,

AC = = ,

AC = AF + CF = KQ + CF, или = 2 + .
Из этого уравнения находим, что x = 3 . Значит, AB = 6 и AC = 6 . Следовательно,
V_CABD = S_{Δ ABD}· AC = · AB· DK· AC = · · 6· 6· 6 = 36.

Ответ

36.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7191