Задача 86998

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найдите площадь сечения этого куба плоскостью, проходящей через вершину C и середины рёбер C1B1 и C1D1 .

Решение

Пусть M и N – середины рёбер соответственно C1B1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 . В сечении получился равнобедренный треугольник CMN . Если K – точка пересечения отрезков MN и A1C1 , то C1K MN , а C1K – ортогональная проекция наклонной CK на плоскость A1B1C1D1 . По теореме о трёх перпендикулярах CK MN , поэтому CK – высота треугольника CMN , а т.к. MN – средняя линия треугольника B1C1D1 , то

MN = B1D1 = a, C1K = A1C1 = a.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CC1K находим, что
CK = = = .
Следовательно,
S_{Δ CMN} = MN· CK = · · = .

Ответ

a2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7202