Задача 87000

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через середину ребра правильного тетраэдра проведена плоскость, перпендикулярная соседнему ребру. Найдите площадь полученного сечения, если ребро тетраэдра равно a .

Решение

Пусть K – середина ребра AD правильного тетраэдра ABCD . Если плоскость, проходящая через точку K перпендикулярно прямой CD , пересекает ребра CD и BD в точках M и L , то KM CD и LM CD , поскольку прямые KM и LM лежат в плоскости, перпендикулярной прямой CD . Пусть N – середина отрезка DC . Тогда AN и BN – высоты равносторонних треугольников ACD и BCD . Поэтому KM || AN и LM || BN . Следовательно, KM и LM – средние линии треугольников AND и BND . Треугольник KML подобен треугольнику ANB с коэффициентом . Следовательно, S_{Δ KML} = S_{Δ ANB} . В равнобедренном треугольнике ANB известны стороны

AB = a, BN = AN = = = .
Поэтому
S_{Δ ANB} = AB = a = .
Следовательно, S_{Δ KML} = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7204