Задача 87005

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух рёбер основания и середину одного из боковых рёбер.

Решение

Пусть K и L – середины сторон BC и AB основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD , M – середина бокового ребра CD (рис.1). Поскольку KL – средняя линия треугольника ABC ,

KL = AC = a, KL || AC.
Поэтому прямая KL параллельна плоскости грани ADC . Секущая плоскость проходит через прямую KL , параллельную плоскости грани ACD , и имеет с этой гранью общую точку M . Поэтому она пересекает эту плоскость по прямой, проходящей через точку M параллельно прямой KL , а значит, и прямой AC . Следовательно, MN – средняя линия треугольника ACD , где N – точка пересечения секущей плоскости ребром AD . Поскольку MN || KL и MN = AC = KL , четырёхугольник KLMN – параллелограмм; MK и NL – средние линии треугольников CBD и ABD соответственно, MK = NL = BD = b . Поскольку пирамида правильная, BD AC, а т.к. MK || BD и KL || AC , то MK KL , т.е. KLMN – прямоугольник. Следовательно,
S_KLMN = KL· MK = a· b = ab.
Если M – середина бокового ребра BD (рис.2), то в сечении получится треугольник, подобный равнобедренному треугольнику ADC . В этом случае искомая площадь равна .

Ответ

ab или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7209