Информация о задаче

Задача 87007

Тема:

[

Площадь сечения

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны a. Через сторону основания и середину одного из противоположных боковых ребер проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Подсказка

В сечении получится равнобедренная трапеция, основания которой равны a и ${\frac{1}{2}}$ a.

Решение

Предположим, что плоскость проходит через сторону AB основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD и середину N бокового ребра SC.

Поскольку секущая плоскость и плоскость боковой грани DSC проведены через параллельные прямые AB и CD соответственно и имеют общую точку N, эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым AB и CD и проходящей через точку N.

Пусть M - точка пересечения этой прямой с боковым ребром SD. Тогда точка M - середина SD, поэтому MN - средняя линия треугольника DSC, MN = ${\frac{1}{2}}$ DC = ${\frac{1}{2}}$ a.

Полученный в сечении четырехугольник ABNM - равнобедренная трапеция (равенство AM = BN следует из равенства треугольников BNC и AMD). Найдем высоту этой трапеции.

Пусть Q и L - середины отрезков CD и AB, R - точка пересечения апофемы SQ с отрезком MN, O - центр основания данной пирамиды, P - ортогональная проекция точки R на плоскость основания ABCD. Тогда RP - средняя линия прямоугольного треугольника SOQ, SO - высота равнобедренного прямоугольного треугольника ASC(AS = SC = a, AC = = a $\sqrt{2}$ ). Поэтому

SO = OC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a $\displaystyle \sqrt{2}$ , RP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ SO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ a $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ a, LP = LO + OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ a = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ a.

Высоту LR трапеции ABNM находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника LPR :

LR = $\displaystyle \sqrt{LP^{2} + RP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9a^{2}/16 + 2a^{2}/16}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ a $\displaystyle \sqrt{11}$ .

Следовательно,

S(ABNM) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB + MN)^.LR = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ a^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ a $\displaystyle \sqrt{11}$ = 3a² $\displaystyle \sqrt{11}$ /16.

Ответ

3a² $\displaystyle \sqrt{11}$ /16.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7211