Задача 87014

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Скалярное произведение ] [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через диагональ B1D1 грани A1B1C1D1 и середину ребра DC правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если AB = a , CC1 = 2a .

Решение

Пусть M – середина ребра CD . Секущая плоскость пересекает плоскость грани CC1D1D по прямой D1M . Найдём точку K пересечения прямой D1M с плоскостью грани BCC1B1 , продолжив отрезки D1M и C1C за точки M и C соответственно. Поскольку точки K и B1 лежат в секущей плоскости, прямая B1K также лежит в этой плоскости. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани BCC1B1 по прямой KB1 . Пусть N – точка пересечения прямой KB1 с ребром BC . Поскольку MN || B1D1 (по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей), MN – средняя линия треугольника CBD . Поэтому MN || BD и MN = BD . Следовательно, четырёхугольник B1D1MN – равнобедренная трапеция ( B1N = D1M из равенства прямоугольных треугольников B1BN и D1DM ) с основаниями B1D1 и MN (B1D1 = a , MN = ) , а MN – средняя линия равнобедренного треугольника B1KD1 . Пусть P1 – точка пересечения диагоналей квадрата A1B1C1D1 . Тогда KP1 – высота равнобедренного треугольника B1KD1 . Из прямоугольного треугольника KC1P1 находим, что

KP1 = = = = .
Если P – точка пересечения отрезков MN и AC , то PP1 – высота равнобедренной трапеции B1D1MN и
PP1 = KP1 = a.
Следовательно,
S_B1D1MN = (B1D1 + MN)· PP1 = (a + )· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7221