Задача 87041

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Известно, что в тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , а ребро BC перпендикулярно ребру AD . Докажите, что ребро AC перпендикулярно ребру BD .

Решение

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1). Пусть AB CD и BC AD . Поскольку KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL – ромб. Аналогично, параллелограмм LBMC – ромб. Значит, AL = BL = LC , поэтому параллелограмм ALCN – тоже ромб. Его диагонали AC и LN перпендикулярны, а т.к. LN || BD , то AC BD .

· = ( + )· ( + ) =

= -2 + · + · + · = -2 + · + · + 0 =

= · ( - - ) = · ( - ) = · = 0.
Следовательно, AC BD .

Пусть DH – высота данного тетраэдра ABCD (рис.2). Тогда AH – ортогональная проекция наклонной AD на плоскость грани ABC . Известно, что AD BC , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах AH BC . Аналогично докажем, что CH AB . Поскольку на прямых AH и CH лежат высоты треугольника ABC , высота этого треугольника, проведённая из вершины B также проходит через точку H . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах BD AC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7254