Информация о задаче

Задача 87048

Тема:

[

Геометрия (прочее)

]

Сложность: 2
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый вектор, перпендикулярный трем данным?

Подсказка

Примените скалярное произведение векторов.

Решение

Предположим, что существует ненулевой вектор $\overline{d}$ , перпендикулярный каждому из трех некомпланарных векторов $\overline{a}$ , $\overline{b}$ и $\overline{c}$ . Поскольку векторы $\overline{a}$ , $\overline{b}$ и $\overline{c}$ некомпланарны, существуют числа x, y и z такие, что

$\displaystyle \overline{d}$ = x^. $\displaystyle \overline{a}$ + y^. $\displaystyle \overline{b}$ + z^. $\displaystyle \overline{c}$ ,

поэтому

$\displaystyle \overline{d}^{2}_{}$ = $\displaystyle \overline{d}$ ^. $\displaystyle \overline{d}$ = $\displaystyle \overline{d}$ ^.(x^. $\displaystyle \overline{a}$ + y^. $\displaystyle \overline{b}$ + z^. $\displaystyle \overline{c}$ ) = x^. $\displaystyle \overline{d}$ ^. $\displaystyle \overline{a}$ + y^. $\displaystyle \overline{d}$ ^. $\displaystyle \overline{b}$ + z^. $\displaystyle \overline{d}$ ^. $\displaystyle \overline{c}$ =

= 0 + 0 + 0 = 0,

что невозможно, т.к. $\overline{d}^{2}_{}$ > 0.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно