Задача 87055

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Ортоцентрический тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра ABCD попарно перпендикулярны тогда и только тогда, когда

AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.

Решение

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Пусть AB CD , AC BD и AD BC . Поскольку KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL – ромб. Аналогично докажем, что все шесть граней параллелепипеда AKBLNDMC – ромбы. Значит, все рёбра параллелепипеда равны. Обозначим их длины через x . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AB2 + CD2 = 4x2, AC2 + BD2 = 4x2, AD2 + BC2 = 4x2.
Следовательно,
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
Обратно, пусть теперь AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 . Рассмотрим параллелограммы AKBL и BMCL с общей стороной BL . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма
AB2 + CD2 = AB2 + KL2 = 2· AL2 + 2· BL2,

BC2 + AD2 = BC2 + ML2 = 2· CL2 + 2· BL2,
а т.к. AB2 + CD2 = BC2 + AD2 , то AL = CL . Аналогично докажем, что все остальные рёбра параллелепипеда равны. Значит, все его грани – ромбы. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, перпендикулярны и противоположные рёбра тетраэдра ABCD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7273