Задача 87060

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Отрезок AB ( AB = 1 ), являющийся хордой сферы радиуса 1, расположен под углом 60^o к диаметру CD этой сферы. Расстояние от конца C диаметра до ближайшего к нему конца A хорды AB равно . Найдите BD .

Решение

Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Пусть O и Q – центры граней NDMC и AKBL соответственно. Тогда O –центр сферы, KL = CD = 2 , OQ AB , OA = OB = 1 как радиусы сферы, KL || CD , QB = QA = , QL = QK = 1 . Пусть BQL = 60^o . Тогда по теореме косинусов

BL = = = ,
поэтому треугольник BQL – прямоугольный, QBL = 90^o . Значит, AB BL , а т.к. BM || OQ и OQ AB , то AB BM , следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости грани BMCL . Тогда AB BC , значит, в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AC больше катета BC . Но по условию AC < BC , поэтому BQL = 120^o . В этом случае BQK = 60^o . Тогда
BK = = = ,
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AQO находим, что
OQ2 = OA2 - QA2 = 1 - = ,
значит, AN = CL = OQ = . В параллелограмме ALCN
NL2 + AC2 = 2AN2 + 2AL2,
поэтому
BD2 = NL2 = 2AN2 + 2AL2 - AC2 =

= 2AN2 + 2BK2 - AC2 = + - 2 = 1.
Следовательно, BD = 1 .

Ответ

1.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7278