Задача 87064

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Равногранный тетраэдр ] [ Ортогональная проекция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда они равновелики.

Решение

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1). Если все грани тетраэдра ABCD равны, то они равновелики. Пусть все грани тетраэдра ABCD равновелики. Из середины G ребра AB опустим перпендикуляр GH на ребро CD (рис.1). Рассмотрим ортогональную проекцию PA1B1 тетраэдра ABCD на плоскость, перпендикулярную CD , где P – проекции точек C , D и H ; A1 – проекция вершины A , B1 – проекция вершины B . Из равенства площадей треугольников ADC и BDC , следует равенство их высот, опущенных на общую сторону CD , а значит, и равенство ортогональных проекций A1P и B1P этих высот на плоскость, перпендикулярную CD . Поскольку проекция G1 середины отрезка AB является серединой A1B1 , медиана PG1 равнобедренного треугольника A1B1P перпендикулярна основанию A1B1 . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах GH AB . Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD проходит через середину AB . Аналогично докажем, что общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD проходит через середину CD . Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD , перпендикулярны этим ребрам, а значит, и граням параллелепипеда AKBLNDMC . Поэтому, параллелепипед AKBLNDMC – прямоугольный. Следовательно, все грани тетраэдра ABCD – равные треугольники, т.е. тетраэдр – равногранный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7282