Задача 87067

Темы:    [ Развертка помогает решить задачу ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Ребро правильного тетраэдра равно a . Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что периметр P сечения удовлетворяет неравенствам 2a < P 3a .

Решение

Пусть плоскость проведена через вершину D тетраэдра ABCD и точки M и N , лежащие на рёбрах AB и BC соответственно (рис.1). Рассмотрим грань ABD . Предположим, что точка M не совпадает ни с одним из концов отрезка AB . Тогда один из треугольников AMD и BMD – тупоугольный или прямоугольный. Пусть это треугольник AMD . Тогда в нём сторона AD лежит против наибольшего угла. Значит, DM < AD = a . Аналогично докажем, что DN < a , если точка N отлична от точек B и C . Рассмотрим треугольник ABC . Отрезок MN разбивает треугольник BMC на треугольники BMN и CMN , один из которых тупоугольный или прямоугольный. Значит, MN < BM < a или MN < MC < a . Следовательно, P 3a (равенство имеет место, если точки M и N различны и совпадают с вершинами треугольника ABC ). Рассмотрим развертку D1D2D3 (рис.2) тетраэдра ABCD на плоскость треугольника ABC (точки A , B и C – середины отрезков D1D2 , D2D3 и D1D3 соответственно). Тогда

P = DM + MN + DN = D2M + MN + D3N > D2B + D3B = DB + DB = 2a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7285