Условие
Каждое ребро треугольной пирамиды
PABC равно 1;
BD – высота
треугольника
ABC . Равносторонний треугольник
BDE лежит в плоскости,
образующей угол
ϕ с ребром
AC , причём точки
P и
E
лежат по одну сторону от плоскости
ABC . Найдите расстояние между
точками
P и
E .
Решение
Поскольку все рёбра пирамиды
PABC равны, это правильный
тетраэдр. Пусть
M – центр основания
ABC ,
N – ортогональная
проекция вершины
E равностороннего треугольника
BDE на плоскость
ABC ,
K – середина
BD ,
F – основание перпендикуляра,
опущенного из точки
E на высоту
PM тетраэдра
PABC .
Так как
EK 
BD , то по теореме о трёх перпендикулярах
NK BD ,
поэтому
EKN – линейный угол двугранного угла, образованного
плоскостями
ABC и
BDE , а т.к.
NK || AC , то
EKN = ϕ .
Далее имеем:
BD = 
, MD = 
,
KD = 
BD = 
, PM = 
,
KM = KD - MD = - = 
,
EK = BD· = 
,
EN = EK sin ϕ = sin ϕ,
NK = EK cos ϕ = cos ϕ,
MN2 = NK2 + KM2 = 
cos 2ϕ + 
,
PE2 = EF2 + PF2 = MN2 + (PM - MF)2 = MN2 + (PM - EN)2 =
= cos 2ϕ + +
( - sin ϕ)2 =
= cos 2ϕ + + 
- 
sin ϕ + sin 2ϕ =
= + + - sin ϕ
= 
- sin ϕ =
- 
sin ϕ.
Следовательно,
PE = 
=
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7304 |
