Задача 87085

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 10, 13, 13. Площади боковых граней соответственно равны 150, 195, 195. Найдите высоту пирамиды.

Решение

Пусть ABCD – треугольная пирамида с вершиной D , причём

AB = AC = 13, BC = 10, S_{Δ ADB} = S_{Δ ADC} = 195, S_{Δ BDC} = 150.
Если DK , DL и DM – высоты треугольников ADB , ADC и BDC соответственно, то
DL = DK = = = 30,

DM = = = 30.
Пусть O – основание высоты пирамиды ABCD , проведённой из вершины D . По теореме о трёх перпендикулярах OK AB , OL AC и OM BC . Из равенства наклонных DK , DL и DM следует равенство их ортогональных проекций OK , OL и OM . Значит, точка O равноудалена от прямых AB , AC и BC . Следовательно, O – либо центр вписанной окружности (рис.1), либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника ABC (рис.2). Пусть r – радиус вписанной окружности треугольника ABC , а r_c , r_b и r_a – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB , AC и BC соответственно, p – полупериметр треугольника ABC . Тогда
S_{Δ ABC} = BC· AM = BC· = · 10· 12 = 60,

r = = = ,

r_c = r_b = = = 12,

r_a = = = .
Из прямоугольного треугльника DMO находим, что в первом случае
DO = = = = ,
во втором и третьем –
DO = = = = 6,
в четвёртом –
DO = = = = .

Ответ

; 6 ; 6 ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7404