Задача 87087

Темы:    [ Сфера, описанная около пирамиды ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – квадрат со стороной a , высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания и равна . Найдите радиус описанной сферы.

Решение

Пусть PABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой – квадрат ABCD со стороной a , а высота PM проходит через середину M ребра AB ; PM = ; Q – центр квадрата ABCD ; O – центр описанной сферы, R – радиус этой сферы. Точка O равноудалена от вершин квадрата ABCD , значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем через центр Q квадрата. С другой стороны, точка O равноудалена от вершин треугольника APB , значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости APB , проходящем через центр O1 описанной окружности треугольника APB . Пусть r – радиус этой окружности. Поскольку

tg PAB = = = ,
PBA = PAB = 60^o , значит, треугольник APB – равносторонний, поэтому
r = O1P = , O1M = .
Прямые OQ и PM параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости. Аналогично, OO1 || QM . Значит,
OQ = O1M = .
Из прямоугольного треугольника AQO находим, что
R = OA = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7406