Задача 87089

Темы:    [ Сфера, описанная около пирамиды ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с гипотенузой a и острым углом 30^o . Высота пирамиды проходит через середину наименьшей из сторон основания и равна a . Найдите радиус описанной сферы.

Решение

Пусть PABC – треугольная пирамида, основание которой – прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB = a и углом при вершине A , равным 30^o , а высота PM проходит через середину M ребра BC = a ; PM = a , Q – центр описанной окружности треугольника ABC (середина гипотенузы AB ), O – центр описанной сферы, R – радиус этой сферы. Точка O равноудалена от вершин треугольника ABC , значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем через середину Q гипотенузы AB . С другой стороны, точка O равноудалена от вершин треугольника BPC , значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости BPC , проходящем через центр O1 описанной окружности треугольника BPC . Пусть r – радиус этой окружности. В треугольнике BPC известно, что

tg PBC = = 4, cos PBC = , sin PBC = , PC = ,
значит,
O1M = PM - r = PM - = a - = a - = .
Прямые OQ и PM параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости. Аналогично, OO1 || QM . Поэтому
OQ = O1M = ,
а т.к.
AQ = AB = ,
то из прямоугольного треугольника AQO находим, что
R = OA = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7408