Задача 87093

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 12 и 4, а остальные рёбра равны 7. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра сферы до ребра, равного 12.

Решение

Пусть ABCD – треугольная пирамида, в которой AB = 12 , CD = 4 , AC = BC = AD = BD = 7 . Поскольку DA = DB , то ортогональная проекция P вершины D на плоскость ABC равноудалена от точек A и B , поэтому точка P лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB равнобедренного треугольника ABC . Пусть K – середина AB . Тогда

DK = CK = = = .
Если M – середина стороны CD равнобедренного треугольника CDK , то KM – высота этого треугольника, поэтому
KM = = = 3,
а т.к. DP – также высота треугольника CKD , то
DP = = = , sin CKD = = = .
Пусть r – радиус сферы, вписанной в пирамиду ABCD , S – полная поверхность пирамиды, V – её объём. Тогда
V = · AB· CK· DP = · · 12· = 24,

S_{Δ BCD} = S_{Δ ACD} = CD· = 2 = 2 = 6,

S_{Δ ABC} = S_{Δ ABD} = AB· CK = · 12· = 6.
Следовательно,
r = = = .
Пусть α – угол между гранями ABD и ABC . Тогда
sin α = sin CKD = , cos α = , sin = = .
а т.к. сфера вписана в двугранный угол между этими гранями, то её центр O лежит в биссекторной плоскости двугранного угла, поэтому, если d – расстояние от точки O до ребра AB , то
d = = = .

Ответ

= (13 - ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7412