Условие
Докажите, что угол наклонной с плоскостью есть наименьший
из углов, образованных этой наклонной со всевозможными
прямыми плоскости.
Решение
Пусть наклонная
l пересекает плоскость
ϕ в точке
A и образует с плоскостью
ϕ угол
α , а с прямой
a , лежащей в плоскости
ϕ , – угол
β . Пусть
точка
M лежит на прямой
l , причём
AM = 1
.
Опустим перпендикуляр
MH из точки
M на плоскость
ϕ ,
а через точку
A проведём прямую, параллельную прямой
a , и
опустим на неё перпендикуляр
MB из точки
M . Обозначим угол
между прямыми
l и
AB через
γ . Тогда по теореме о трёх
перпендикулярах
BH 
AB .
Из прямоугольных треугольников
AHM ,
BHM и
ABH находим, что
AH = AM cos 
MAH = AM cos α = cos α,
AB = AM cos BAM = AM cos γ = cos γ,
AB = AH cos BAH = cos α cos β.
Значит,
cos γ = cos α cos β , а т.к.
cos β
1
,
то
cos γ cos α .
Следовательно,
γ 
α . При этом равенство достигается
лишь в случае, когда прямая
a параллельна
AH .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7427 |
