Задача 87120

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Конус ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите высоту и радиус основания конуса наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса R .

Решение

Пусть P – вершина конуса, h – его высота, r – радиус основания (рис.1). Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O . В сечении получится окружность радиуса R (рис.2), в которую вписан равнобедренный треугольник ABP с вершиной P , основанием AB = 2r и высотой PM = h . Продолжим высоту PM до пересечения с окружностью в точке K . Тогда PBK – прямоугольный треугольник, а BM – его высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

BM2 = PM· KM, или r2 = h(2R - h).
Пусть V(h) – объём конуса. Тогда
V(h) = π r2h = π h2(2R - h).
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h) = π h2(2R - h) на интервале (0;2R) .

Решив уравнение V'(h) = 0 , найдём критические точки функции V(h) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R) .
V'(h) = ( π (2Rh2 - h3))' = π(4Rh - 3h2) = π h(4R - 3h) = 0.
Промежутку (0;2R) принадлежит единственный корень этого уравнения h = R . При переходе через точку h = R производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке (0;R) функция V(h) возрастает, а на промежутке (R;2R) – убывает. Следовательно, при h = R объём конуса наибольший. При этом
r = = = R.


Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(h) = π h2(2R - h) = π · 4· h· h· (2R - h)

π()3 = π · = ,
причём равенство достигается, если h = 2R - h , т.е. при h = R . Следовательно, наибольшее значение объёма конуса достигается при h= R . При этом
r = = = R.

Ответ

R ; R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7443