Задача 87121

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Цилиндр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса R .

Решение

Пусть h – высота цилиндра, r – радиус его основания (рис.1). Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O (рис.2). В сечении получится окружность радиуса R , в которую вписан прямоугольник ABCD со сторонами AD = BC = 2r , AB = CD = h и диагональю AC=2R , причём центр O окружности совпадает с центром прямоугольника ABCD . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что

4r2 = AD2 = AC2 - CD2 = 4R2 - h2.
Пусть V(h) – объём цилиндра. Тогда
V(h) = π r2h = π h(4R2 - h2).
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h) = π h(4R2 - h2) на интервале (0;2R) . Решив уравнение V'(h) = 0 , найдём критические точки функции V(h) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R) .
V'(h) = (π h(4R2 - h2))' = π(4R2h - h3)' = π (R2 - h2).
Промежутку (0;2R) принадлежит единственный корень этого уравнения h = . При переходе через точку h = производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке (0;) функция V(h) возрастает, а на промежутке (; 2R) – убывает. Следовательно, при h = объём цилиндра –наибольший. При этом
r = = = R.

Ответ

; R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7444