Задача 87123

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Ребро AB тетраэдра ABCD является диагональю основания четырёхугольной пирамиды, ребро CD параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых рёбрах пирамиды. Найдите наименьший возможный объём пирамиды, если объём тетраэдра равен V .

Решение

Пусть AMBK – основание данной четырёхугольной пирамиды PAMBK , α – угол между диагоналями AB и MK , h – высота пирамиды PAMBK . Обозначим = = x . Тогда расстояние d между прямыми AB и CD равно (1 - x)h , а т.к. угол между ними равен α , то

V = AB· CD· d sin α,
откуда находим, что AB· CD· d sin α = 6V . Далее имеем:
V_PAMBK = S_AMBKh = · AB· KM sin α · h =

= · AB· · sin α · = =

= = = = 4V,
причё равенство достигается, когда x = , т.е. когда C – середина ребра PK .

Ответ

4V .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7446