Задача 87125

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная пирамида. Каков наибольший возможный объём этой пирамиды?

Решение

Пусть правильная четырёхугольная пирамида PABCD (рис.1) вписана в сферу с центром O и радиусом R . Обозначим через a и h соответственно сторону основания ABCD и высоту пирамиды и проведём сечение через точки P , A и C (рис.2). Поскольку точка O принадлежит плоскости сечения, получим равнобедренный треугольник с основанием a , вписанный в окружности радиуса R . Пусть продолжение радиуса PO пересекает отрезок AC в точке M , а окружность – в точке K . Тогда M – середина AC , а CM – высота прямоугольного треугольника PCK , проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

CM2 = PM· MK, или a2 = h(2R - h),
откуда a2 = 2h(2R - h) . Обозначим через V(h) – объём пирамиды PABCD . Тогда
V(h) = S_ABCD· PM = a2h = · 2h2(2R - h) = h2(2R - h).
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h) = h2(2R - h) на интервале (0;2R) .

Решив уравнение V'(h) = 0 , найдём критические точки функции V(h) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R) .
V'(h) = (h2(2R - h))' = (2Rh2 - h3)' = (4Rh - 3h2) = h(4R - 3h) = 0.
Промежутку (0;2R) принадлежит единственный корень этого уравнения h = R . При переходе через точку h = R производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке (0;R) функция V(h) возрастает, а на промежутке (R;2R) – убывает. Следовательно, при h = R объём пирамиды ABCD наибольший. При этом
V(R) = · (R)2· (2R - R) = R3.


Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(h) = h2(2R - h) = π · 4· h· h(2R - h)

π · ( )3 = π · R = π,
причём равенство достигается, если h = 2R - h , т.е. при h = R . Следовательно, наибольшее значение объёма конуса достигается при h= R .

Ответ

R3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7448