Задача 87130

Темы:    [ Конус ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса под углом 30^o к его оси, равна площади осевого сечения. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение

Пусть равнобедренный треугольник PAB – указанное сечение конуса с вершиной P , O – центр окружности основания конуса, M – середина хорды AB этой окружности. Тогда угол MPO – это угол между осью конуса и секущей плоскостью, MPO = 30^o . Пусть r – радиус основания конуса, h – высота конуса, α – угол в осевом сечении. Тогда

OM = PO tg MPO = h tg 30^o = , PM = 2OM = ,

AM = = ,

S_{Δ APB} = PM· AM = ,
а т.к. площадь осевого сечения конуса равна rh , то по условию задачи
= rh, или = r,
откуда находим, что r2 = h2 . Следовательно,
tg = = .

Ответ

2 arctg = arccos (-) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7501