Условие
Сфера радиуса
r касается всех рёбер треугольной пирамиды.
Центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирамида
правильная и найдите её высоту, если известно, что центр сферы
удален от вершины пирамиды на расстояние
r
.
Решение
Пусть указанная сфера с центром
O , расположенным на высоте
PQ
треугольной пирамиды
PABC с вершиной
P , касается рёбер
AB ,
BC ,
AC ,
PA ,
PB и
PC в точках
K ,
L ,
M ,
D ,
E и
F
соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников
PDO ,
PEO и
PFO (по катету и гипотенузе) следует равенство углов
OPD ,
OPE и
OPF . Значит, прямоугольные треугольники
APQ ,
BPQ и
CPQ
равны по катету и прилежащему острому углу. Поэтому
QA = QB = QC ,
т.е.
Q – центр окружности, описанной около треугольника
ABC .
Прямоугольные треугольники
OQK ,
OQL и
OQM также равны по
катету и гипотенузе, поэтому
QK = QL = QM . Поскольку прямая
AB
касается сферы в точке
K ,
OK 
AB . Тогда по теореме о трёх
перпендикулярах
QK AB . Аналогично,
QL BC и
QM AC .
Значит
Q – центр окружности, вписанной в треугольник
ABC .
Поскольку центры вписанной и описанной окружностей
треугольника
ABC совпадают, треугольник
ABC – равносторонний.
Высота пирамиды
PABC проходит через центр основания, поэтому
пирамида
PABC правильная, причём угол между её высотой и боковым
ребром равен углу между высотой и ребром правильного тетраэдра,
т.е.
arcsin 
. Следовательно,
PABC – правильный тетраэдр,
а точка
O – его центр. Поэтому
PQ = 
PO = r.
Ответ
r .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7503 |
