Задача 87135

Темы:    [ Высота пирамиды (тетраэдра) ] [ Касающиеся сферы ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной треугольной пирамиде расположен шар радиуса 1. В точке, делящей пополам высоту пирамиды, он касается внешним образом полушара. Полушар опирается на круг, вписанный в основание пирамиды, шар касается боковых граней пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и угол между боковыми гранями пирамиды.

Решение

Обозначим через a сторону основания ABC правильной треугольной пирамиды PABC . Тогда радиус указанного полушара равен , а высота PM пирамиды PABC равна . Через середину F высоты PM пирамиды PABC проведём плоскость, параллельную плоскости ABC . Пусть A1 , B1 , C1 – точки пересечения проведенной плоскости с рёбрами AP , BP и CP соответственно. Тогда A1 , B1 , C1 – середины этих рёбер, а PA1B1C1 – правильная треугольная пирамида, подобная пирамиде PABC с коэффициентом . Пусть K и K1 – середины AB и A1B1 , β – угол боковой грани пирамиды PABC с плоскостью основания. Тогда

A1B1 = AB = a, FK1 = , PF = MF = MK = ,

tg β = tg PKM = tg PK1F = = = = 2.
Поскольку tg β = , из уравнения
= 2,
находим, что tg = . Если O – центр данного шара радиуса 1, вписанного в пирамиду PA1B1C1 , то
OF = 1, OF = FK1 tg = · .
Из уравнения
· = 1
находим, что a = 2( + 1) . Пусть S – площадь боковой поверхности пирамиды PABC . Тогда
S = = = = 3( + 1)2.
Опустим перпендикуляр KN из середины AB на боковое ребро PC . Тогда PC AN и PC AB , значит, PC – перпендикуляр к плоскости ANB . Поэтому угол γ между боковыми гранями пирамиды PABC равен углу ANB . Поскольку CM = 2MK = PM , из прямоугольного треугольника PMC находим, что KCN = 45^o . Поэтому
KN = = ,
следовательно,
tg = = = .

Ответ

3( + 1)2 ; 2 arcsin = 2 arctg = arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7506