Задача 87138

Темы:    [ Цилиндр ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Правильная треугольная призма ABCA1B1C1 описана около шара радиуса R . Точки M и N – середины рёбер BB1 и CC1 . В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN . Найдите объём цилиндра.

Решение

Заметим, что высота призмы равна диаметру шара, т.е. 2R , шар касается плоскостей оснований призмы в центрах P и P1 равносторонних треугольников ABC и A1B1C1 , а плоскостей боковых граней – в точках пересечения их диагоналей. Пусть K и K1 – середины BC и B1C1 соответственно. Ортогональная проекция шара на плоскость ABC есть круг радиуса R , вписанный в треугольник ABC . Поэтому

AP = A1P1 = R, PK = P1K1 = 2R, AK = A1K1 = 3R.
Рассмотрим сечение призмы плоскостью AKK1A1 . Получим прямоугольник AKK1A1 со сторонами 2R , 3R , круг радиуса R , касающийся сторон AK и A1K1 в точках P и P1 , а стороны KK1 – в её середине L , причём центр круга совпадает с центром O шара. Пусть LAK = α . Тогда
tg α = = = , cos α = .
Опустим перпендикуляр OQ из центра круга на прямую AL . Из прямоугольного треугольника OQL находим, что
QL = OL cos OLQ = R cos α = .
Пусть AQ пересекает окружность, ограничивающую круг, в точке E . Продолжим EO до пересечения с этой окружностью в точке F . Тогда EL – диаметр основания цилиндра, вписанного в данный шар, а LF – высота цилиндра. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника EFL находим, что
LF = = = .
Следовательно, объём цилиндра равен
π · QL2· LF = π()2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7509