Задача 87139

Темы:    [ Конус ] [ Шар и его части ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Три конуса радиусы основания которых равны R и составляют высоты, расположены по одну сторону от плоскости α , а их основания лежат в этой плоскости. Окружности оснований каждых двух из этих конусов касаются. Найдите радиус шара, лежащего между конусами и касающегося как плоскости α , так и всех трёх конусов

Решение

Пусть O – точка касания указанного шара с плоскостью оснований конусов, а O1 , O2 , O3 – центры оснований конусов (рис.1). Тогда O1O2O3 – равносторонний треугольник со стороной 2R (рис.2), поэтому

OO1 = OO2 = OO3 = .
Проведём плоскость через высоту CO1 одного из конусов и параллельный ей радиус QO шара. Получим равнобедренный треугольник ABC (осевое сечение конуса) и окружность, касающуюся боковой стороны, например AC , в точке D , а продолжения основания AB – в точке O (рис.3). По условию задачи O1A = R , CO1 = R . Обозначим QO = r , OAQ = ϕ , CAO1 = 2γ . Тогда
ϕ = (180^o - CAO1) = (180^o - 2γ) = 90^o - γ.
Из прямоугольного треугольника CAO1 находим, что
tg 2γ = tg CAO1 = = .
Из уравнения
tg 2γ = = ,
находим, что tg γ = , значит,
OA = r ctg ϕ = r ctg (90^o - γ) = r tg γ=r.
Поскольку OO1 = OA + AO1 , имеем уравнение
= r + R,
откуда находим, что r = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7510