Задача 87147

Темы:    [ Окружности на сфере ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найдите радиус окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.

Решение

Пусть O – центр сферы (рис.1); O1 , O2 , O3 – центры трёх данных окружностей, расположенных на сфере; Q – центр искомой окружности радиуса x ; A – точка касания окружностей с центрами O1 и O2 . Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно общей касательной l к окружностям с центрами O1 и O2 , проходящей через точку A (рис.2). Точки O , O1 и O2 лежат в этой плоскости. Таким образом, мы имеем окружность радиуса 2 с центром O и две её хорды AB и AC , середины которых – точки O1 и O2 соответственно, а т.к. AB и AC – диаметры данных окружностей с центрами O1 и O2 , то AB = AC = 2 , поэтому AOB и AOC – равносторонние треугольники со стороной 2, значит,

O1O2 = BC = , OO1 = OO2 = .
Аналогично,
O1O3 = O2O3 = , OO3 = .
Рассмотрим правильный тетраэдр OO1O2O3 . Обозначим через α угол, который образует его высота с боковым ребром. Тогда
sin α = , cos α = .
Заметим, что продолжение высоты тетраэдра, проведённой из вершины O , проходит через точку Q . Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно общей касательной m к окружностям с центрами O1 и Q , проходящей через их точку касания D (рис.3). Точки O , O1 и Q лежат в этой плоскости. Таким образом, мы имеем окружность радиуса 2 с центром O и две её хорды DE и DF , середины которых – точки O1 и Q соответственно, а т.к. DE и DF – диаметры окружностей с центрами O1 и Q , то O1D = 1 и QD = x . Кроме того
DOO1 = 30^o, O1OQ = α, DOQ = O1OQ - DOO1 = α - 30^o.
Следовательно,
x = QD = OD sin DOQ = 2 sin (α - 30^o) = 2( sin α cos 30^o - cos α sin 30^o) =

= 2(· - · ) = 2( - ) = 1 - .

Ответ

1 - .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7518