Задача 87155

Темы:    [ Конус ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причём каждый из этих четырёх шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности и остальных четырёх шаров. Найдите объём конуса, если радиус каждого шара равен r .

Решение

Пусть данные шары с центрами O1 , O2 , O3 и O4 (рис.1) касаются основания конуса с вершиной A и радиусом основания R в точках Q1 , Q2 , Q3 и Q4 соответственно, а центр O5 пятого шара лежит на высоте AP конуса, равной h . Тогда P – центр квадрата Q1Q2Q3Q4 со стороной 2r , поэтому

PQ1 = PQ2 = PQ3 = PQ4 = r.
Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду O1O2O3O4O5 с вершиной O5 , все рёбра которой равны 2. Угол между её боковым ребром и плоскостью основания равен 45^o . Поскольку боковое ребро пирамиды O1O2O3O4O5 параллельно некоторой образующей конуса, то угол при основании осевого сечения конуса также равен 45^o . Рассмотрим осевое сечение ABC конуса (рис.2), проходящее через точку O1 . Пусть точка Q1 лежит на катете BP прямоугольного треугольника APB . Поскольку BO1 – биссектриса угла ABP ,
BQ1 = O1Q1 ctg Q1BO1 = r ctg = r(1 + ).
Следовательно,
R = PB = PQ1 + Q1B = r + r(1 + ) = r(1 + 2),

h = R tg 45^o = R = r(1 + 2).
Если V – объём конуса, то
V = π R2h = π R3 = π r3(1 + 2)3.

Ответ

(1 + 2)3π r3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7526