ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87156
Темы:    [ Конус ]
[ Сфера, касающаяся ребер угла ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли точку в пространстве закрыть четырьмя шарами?

Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с центром в данной точке O . Опишем около него сферу. Рассмотрим сечения сферы плоскостями ABC , ABD , ACD и BCD . Получим четыре окружности на сфере. В конусы с общей вершиной O и окружностями оснований, описанными около треугольников ABC , ABD , ACD и BCD , поместим непересекащиеся шары, касающиеся боковых поверхностей (или их продолжений) этих конусов. Пусть R – наибольшее из расстояний от точки O до точек, лежащих на поверхностях этих четырёх шаров, M – произвольная точка пространства, расположенная вне сферы с центром O и радиусом R . Тогда точка M лежит внутри хотя бы одного из построенных бесконечных конусов. Следовательно, точки O и M разделены по крайней мере одним из указанных шаров.

Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7527

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .