Задача 87161

Темы:    [ Конус ] [ Прямоугольный тетраэдр ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине каждого конуса.

Решение

Пусть ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной D , O – центр её основания ABC . Рассмотрим три конуса с общей вершиной O , вписанных в треугольные пирамиды OABD , OBCD и OACD ("каркасы" конусов) так, что их основания вписаны в треугольники ABD , BCD и ACD соответственно, причём каждые два конуса имеют ровно одну общую образующую. Пусть O1 – центр основания конуса, вписанного в пирамиду OABD , а OK – образующая этого конуса, являющаяся также образующей конуса, вписанного в пирамиду OBCD . Тогда O1K BD , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах OK BD , значит, OK – высота прямоугольного треугольника OBD , проведённая из вершины прямого угла. Обозначим AB = BC = AC = a . Если M – середина AB , то

OK = OM = , OB = , cos BOK = = = ,
поэтому BDO = BOK = 60^o . Следовательно,
DO = OB ctg 60^o = · = a.
Пусть угол при вершине осевого сечения равен 2α . Тогда
tg α = tg MOO1= tg MDO = = = ,

cos 2α = = .

Ответ

2 arctg = 2 arccos = arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7532