Задача 87179

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 3 , BC = 2 , CC1 = 4 . На ребре AB взята точка M , причём AM:MB = 1:2 ; K – точка пересечения диагоналей грани CC1D1D . Найдите угол и расстояние между прямыми D1M и B1K .

Решение

Выберем систему координат с началом в точке D1 . Ось x направим по лучу D1C1 , ось y – по лучу D1A1 , ось z – по лучу D1D . Тогда координаты концов отрезков D1M и B1K таковы:

D1(0; 0; 0), M(1; 2; 4), B1(3; 2; 0), K(; 0; 2).
Найдём координаты векторов и :
= (1; 2; 4), =(-;-2;2).
Пусть ϕ – угол между векторами и . Тогда
cos ϕ = = = = .
Если α – угол между прямыми D1M и B1K , то
cos α = | cos ϕ | = .
Пусть = (a; b; c) – вектор, перпендикулярный прямым D1M и B1K . Тогда · = 0 и · = 0 , или

Сложив почленно эти уравнения, получим, что -a + 6c = 0 , или a = 12c . Положим c = 1 . Тогда a = 12 , b = (-a - 4c) = -8 . Через точку D1 проведём плоскость, перпендикулярную вектору = (12; -8; 1) :
12x - 8y + z = 0.
Эта плоскость проходит через прямую D1M параллельно прямой B1K , значит, расстояние между прямыми D1M и B1K равно расстоянию от произвольной точки прямой B1K (например, от точки B1(3; 2; 0) ) до этой плоскости. Если ρ – искомое расстояние, то
ρ = = .

Ответ

arccos , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7553