Задача 87180

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды ABCS – равносторонний треугольник ABC со стороной 4 . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC , а другая проходит через точку C и середину ребра AB .

Решение

Пусть M и K – середины рёбер BC и AB соответственно, P – проекция точки M на прямую, проходящую через вершину C параллелльно AB . Выберем систему координат с началом в точке C . Ось x направим по лучу CP , ось y – по лучу CK , ось z – по лучу CS . Тогда координаты концов отрезков SM и CK таковы:

S(0;0;2), M(;;0), C(0;0;0), K(0;2;0).
Найдём координаты векторов и :
= (;;-2), = (0;2;0).
Пусть ϕ – угол между векторами и . Тогда
cos ϕ = = = .
Если α – угол между прямыми SM и CK , то
cos α = | cos ϕ | = .
Следовательно, α = 45^o . Прямая CK параллельна прямой MP , значит, прямая CK параллельна плоскости SMP . Уравнение этой плоскости имеет вид
+ = 1
(уравнение плоскости в отрезках), или
+ - 1 = 0.
Расстояние между прямыми SM и CK равно расстоянию от произвольной точки прямой CK (например, от точки C(0; 0;0) ) до этой плоскости. Если ρ – искомое расстояние, то
ρ = || = .

Ответ

45^o , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7554