Задача 87253

Темы:    [ Правильная призма ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30^o , а сторона основания равна a .

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – правильная призма с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , причём AB = a . Поскольку прямая AD перпендикулярна плоскости грани CDD1C1 , DC1 – ортогональная проекция диагонали AC1 на эту плоскость, а AC1D – угол прямой AC1 с плоскостью грани CDD1C1 . По условию задачи AC1D = 30^o . Из прямоугольных треугольников AC1D и DCC1 находим, что

DC1 = AD· ctg 30^o = a,

CC1 = = = a,
а т.к. CC1 – высота призмы, то
V_ABCDA1B1C1D1 = S_ABCD· CC1 = a2· a = a3.

Ответ

a3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7724