Задача 87264

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b . Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости боковой грани, содержащей сторону основания, равную b , под углом 30^o . Найдите объём параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный прямоугольный параллелепипед с основаниями ABCD , A1B1C1D1 и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , причём BC = a , CD = b . Поскольку BC – перпендикуляр к плоскости грани CC1D1D , содержащей ребро CD , CD1 – ортогональная проекция диагонали BD1 на эту плоскость. Значит, BD1C – угол прямой BD1 с плоскостью грани CC1D1D . По условию задачи BD1C = 30^o . Из прямоугольных треугольников BD1C , BDC и BDD1 находим, что

BD1 = 2BC = 2a, BD2 = BC2 + CD2 = a2 + b2,

DD1 = = = .
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = S_ABCD· DD1 = ab.

Ответ

ab .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7735