Информация о задаче

Задача 87273

Темы:	[	Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее)	]
	[	Построения на проекционном чертеже	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трех параллельных прямых в точках F, G и H. Известно, что площадь треугольника QGH равна 4 $\sqrt{2}$ , а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол GFH.

Подсказка

Докажите, что точки F, G и H лежат в плоскости, проходящей через центр данной сферы перпендикулярно данным прямым. Проведите сечение сферы этой плоскостью и рассмотрите два случая взамного расположения точек Q и F относительно прямой GH.

Решение

Пусть прямая a касается данной сферы в точке F. Проведем через точку Q плоскость $\alpha$ , перпендикулярную прямой a. Если прямая a пересекает эту плоскость в точке F₁, то QF₁ $\perp$ a, а т.к. прямая, касающаяся сферы, перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания, то QF $\perp$ a. Из единственности перпендикуляра, проведенного к данной прямой через данную точку, следует, что точка F₁ совпадает с точкой F. Поскольку данные прямые параллельны, плоскость $\alpha$ перпендикулярна каждой из них. Аналогично докажем, что плоскость $\alpha$ проходит также через точки G и H.

Треугольник FGH вписан в окружность пересечения сферы с плоскостью $\alpha$ . Пусть S(FGH) = S. По условию

4 $\displaystyle \sqrt{2}$ = S(QGH) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ QG^.QH^.sin $\displaystyle \angle$ GQH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ 4^.4^.sin $\displaystyle \angle$ GQH = 8^.sin $\displaystyle \angle$ GQH,

откуда sin $\angle$ GQH = $\sqrt{2}$ /2. Значит, либо $\angle$ GQH = 45^o, либо $\angle$ GQH = 135^o.

Пусть $\angle$ GQH = 45^o. Если точка F лежит на большей из дуг GH, то площадь треугольника FGH максимальна, если точка F совпадает с точкой A, лежащей на серединном перпендикуляре к хорде GH, т.е. на диаметре AB окружности, перпендикулярном хорде GH. Если C - середина этой хорды, то

S $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ GH^.AC < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ GH^.AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{QG^{2} + QH^{2} - 2\cdot QG\cdot QH\cdot \cos 45^{\circ }}$ ^.AB =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{16 + 16 - 2\cdot 16\cdot \sqrt{2}/2}$ ^.8 = 16 $\displaystyle \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ < 16^.1 = 16,

что противоречит условию. Если точка F лежит на меньшей из дуг GH, то S(FGH) $\le$ S(BGH) < S(AGH) < 16, что также противоречит условию.

Пусть $\angle$ GQH = 135^o. Тогда площадь сектора с углом GQH, равным 135^o, составляет три восьмых от площади круга радиуса 4, т.е. равна 6 $\pi$ . Если точка F лежит на меньшей из дуг GH, то площадь треугольника FGH меньше площади сегмента, ограниченного этой дугой, т.е.

S < 6 $\displaystyle \pi$ - S(QGH) = 6 $\displaystyle \pi$ - 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ < 16

(6 $\displaystyle \pi$ - 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ < 16 $\displaystyle \Leftarrow$ 6 $\displaystyle \pi$ < 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 16 $\displaystyle \Leftarrow$ 3 $\displaystyle \pi$ < 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 8 $\displaystyle \Leftarrow$ 3 $\displaystyle \pi$ < 10 < 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 8),

что противоречит условию.

Если точка F лежит на большей из дуг GH, то S может быть больше 16. В самом деле, пусть F совпадает с серединой A большей из дуг GH. Тогда

$\displaystyle \angle$ AQG = $\displaystyle \angle$ AGH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (369^o - 135^o) = 112.5^o < 120^o,

поэтому

S(AGH) = S(QGH) + 2^.S(AQH) = 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 4^.4^.sin 112.5^o >

> 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 4^.4^.sin 120^o = 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 8 $\displaystyle \sqrt{3}$ > 4 + 8^.1.5 = 4 + 12 = 16.

Таким образом, $\angle$ GQH = 135^o, а точка F лежит на большей из дуг GH. Следовательно, $\angle$ GFH = ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ GQH = ${\frac{1}{2}}$ 135^o = 67.5^o.

Ответ

67.5^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно