Задача 87310

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Три шара радиуса r лежат на нижнем основании правильной треугольной призмы, причём каждый из них касается двух других шаров и двух боковых граней призмы. На этих шарах лежит четвёртый шар, который касается всех боковых граней и верхнего основания призмы. Найдите высоту призмы.

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 – центры шаров, касающихся нижнего основания призмы, O – центр четвёртого шара, R – его радиус, H – искомая высота призмы, a – сторона основания призмы, h – высота правильной треугольной пирамиды OO1O2O3 с вершиной O (рис.1). Рассмотрим ортогональную проекцию призмы и данных шаров на плоскость основания призмы (рис.2). Получим три окружности радиусов r , касающиеся сторон равностороннего треугольника со стороной a , и попарно касающиеся между собой, а также окружность радиуса R , вписанную в этот треугольник. Имеем:

a = 2r + 2r = 2r(1 + ),

R = = = = r(1 + ).
Сторона основания правильной треугольной пирамиды OO1O2O3 равна 2r , боковое ребро равно r + R . Поэтому
h = = =

= r = r = .
Следовательно,
H=r+h+R=r+ r + r(1+)=

= r(6 + +).

Ответ

r(6 + + ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7781