Условие
Сфера с центром в точке
O проходит через вершины
A ,
B и
C
треугольной пирамиды
ABCD и пересекает прямые
AD ,
BD и
CD в точках
K ,
L и
M соответственно. Известно, что
AD = 10
,
BC:BD = 3
:2
и
AB:CD = 4
:11
. Проекциями точки
O на плоскости
ABD, BCD и
CAD
являются середины рёбер
AB ,
BC и
AC соответственно. Расстояние между
серединами рёбер
AB и
CD равно 13. Найдите периметр треугольника
KLM .
Решение
Сечение данной сферы плоскостью грани
ABD есть окружность с
центром в середине отрезка
AB , проходящая через точки
A ,
B ,
K и
L (рис.1).
Поэтому
AB – диаметр этой окружности. Отрезок
AB виден из точек
K и
L под прямым углом, значит,
AL и
BK – высоты треугольника
ABD .
Аналогично,
BM и
CL – высоты треугольника
BCD , а
CK и
AM – высоты треугольника
ACD .
Прямая
CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым
AM и
BM
плоскости
ABM , поэтому прямая
CD перпендикулярна этой плоскости.
Значит,
CD 
AB . Аналогично, что
AD BC и
BD AC .
Достроим данный тетраэдр
ABCD до параллелепипеда
APBQSDRC
(
AS || PD || BR || QC ), проведя через его противоположные
рёбра пары параллельных плоскостей (рис.2).
Поскольку
PQ || CD , то
PQ AB , поэтому параллелограмм
APBQ –
ромб. Аналогично, все шесть граней параллелепипеда
APBQSDRC – ромбы. Значит,
все ребра параллелепипеда равны. Обозначим их длины через
a . По теореме о сумме
квадратов диагоналей параллелограмма
AB2 + CD2 = 4a2, AC2 + BD2 = 4a2, AD2 + BC2 = 4a2.
Следовательно,
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
Положим
BC = 3
x ,
BD = 2
x ,
AB = 4
y ,
CD = 11
y . Поскольку
ребро параллелепипеда
APBQSDRC равно отрезку, соединяющему центры
противоположных граней,
a = 13
. Поэтому
100 + 9x2 = 4· 169, 48y2 + 121y2 = 4· 169, AC2 + 4x2 = 4· 169,
откуда находим, что
x = 8, y = 2, AC = 2
,
BC = 24, BD = 16, AB = 8, CD = 22.
Рассмотрим треугольник
ABD . Обозначим
ADB = α . Поскольку
BK и
AL – высоты треугольника
ABD , треугольник
KDL подобен треугольнику
BDA с коэффициентом
| cos α| . Поэтому
KL = AB| cos α| . По
теореме косинусов находим, что
cos α = 
=
= 
= 
.
Значит,
KL = 8
· = 
.
Аналогично находим, что
LM = BC| cos BDC| = 
=
= 
,
KM = AC· | cos ADC | = 
=
= 
.
Следовательно, периметр треугольника
KLM равен
+ 
+ =
41(
+ 
+ 
).
Ответ
41(
+ + )
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7794 |
