Задача 87328

Темы:    [ Сферы (прочее) ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Внутренняя точка A шара радиуса r соединена с поверхностью шара тремя отрезками прямых, имеющими длину l и проведёнными под углом α друг к другу. Найдите расстояние точки A от центра шара.

Решение

Пусть H – основание перпендикуляра, опущенного из центра O сферы на плоскость, проходящую через данные на сфере точки B , C и D , причём AB = AC = AD = l , BAC = CAD = BAD = α . Тогда H – центр правильного треугольника BCD со стороной a , где

a = 2l sin , HB = HC = HD = = .
Из прямоугольных треугольников OHB и AHD находим, что
OH2 = OB2 - HB2 = r2 - ()2 = r2 - ,

AH2 = AB2 - HB2 = l2 - ()2 = .
Если точка O лежит вне отрезка AH , то
OA = OH - AH = l - .
Если точка O лежит на отрезка AH , то
OA = AH - OH = - l.

Ответ

|l - | .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7801